Kombinatorika
Co je největším problémem?
Kombinatorika dělá problém obecně. Za prvé se jedná o slovně zadané příklady, které se nikomu nechtějí číst. Za druhé je těžké napasovat úlohy na správné vzorce. Jsou to variace? Nebo kombinace? A co třeba permutace?
Pokud se objeví zadání podobné tomu, které je v učebnici, máme vyhráno. Co když ale autor testu ukáže svoji kreativitu a zasadí úlohu do situace, která se ještě nikdy neobjevila?
Obecně platí jedna zásada: čti, maluj, kresli, kombinuj a pokud to jen jde, pokus se na řešení přijít bez vzorce, jen s tužkou v ruce a papírem před sebou.
Jedna situace, různé možnosti zadání...
Jasný příklad variací. Pepíček je vybrán do trojice s Aničkou a Jarouškem na pozici předsedy třídy. Jenže má možnost být ve stejné trojici i místopředsedou a pokladníkem.
Pokud má každý člen ve vybírané trojici specální funkci nebo vlastnost, počítáme přes vzorec variací.
Na kalkulačce: 12-shift-nPr-3
Celkem tedy 1320 možností.
Zase vybíráme trojice z množství žáků (prvků). Tentokrát je situace jiná. Nikdo nemá žádnou funkci. Pepíčka vybereme s Jarouškem a Aničkou a znovu tuto trojici nebudeme řešit. Možností musí být tedy méně než v předešlém příkladě.
Pokud nemají členové trojice speciální funkci nebo vlastnost, počítáme pomocí kombinací.
Na kalkulačce: 12-shift-nCr-3
Celkem tedy 220 možností.
Pokud řešíme něčí pořadí, kolika způsoby se může něco nebo někdo porovnat, navíc tak, že využijeme všechny členy (prvky), jsou to jasné permutace. Ve své podstatě se jedná o variace. Výsledek je stejný.
Na kalkulačce: 12!
Výsledky jsou vždy obrovské. Takže i tady je celkem
479 001 600 možností, jak se ve frontě seřadit.
Pozor na to! Jedná se samozřejmě o permutace, ale s tím, že nepočítáme s Pepíčkem. Má svoji pozoci jistou, takže kombinujeme jenom 11 žáků.
Na kalkulačce: 11!
Možností je tedy 39 916 800.
Zase řadíme, nepočítáme s Jarouškem ani Pepíčkem, takže permutace pouze 10.
Na kalkulačce: 10!
Celkem tedy 3 628 800 možností.
Velice oblíbený maturitní vtípek.
Zase jde o permutace. Tentokrát mají tři žáci svoji pozici jistou, takže kombinujeme 9 žáků. Je jedno, že je Anička někde mezi nimi. Bereme ji třeba jako sloup a řešíme pořadí žáků bez ní.
Na kalkulačce: 9!
Celkem tedy 362 880 možností, jak je seřadit.
A jsme u toho. Zatím, co někdo marní čas nad tím, zda se jedná o variace nebo kombinace, ten, kdo vzal tužku do ruky, ví, že se jedná o tzv. kombinatorický součin.
Ve třídě je 12 žáků, každý spočítal 20 příkladů, takže na opravu čeká 12*20 = 240 příkladů.
S přidanou hodnotou, tedy s dopočítáním času, si lehce poradíme: 240*70 = 16 800 vteřin.
16 800 vteřin = 280 minut = 4 hodiny 40 minut
Pan Marek bude opravovat příklady 4 hodiny a 40 minut. Domů tedy půjde v 17:10. Chudák!
Když do rovnice zabloudí vykřičník...
Př.: Určete neznámé číslo p, jestliže platí:
a) p . 78! = 80!
To by ještě šlo. Po vydělení celé rovnice číslem 78! dostaneme zlomek, který pokrátíme a získáme výsledek 6320.
b) 2.4.6.8.10.12.14.16.18.20 = p! . 2na desátou
Horší případ. Pokud máme faktoriál u neznámé, musíme řešit rovnici tak, abychom celou levou stranu dostali do tvaru faktoriálu. Pokud rovnici vydělíme číslem 2na desátou, levou stranu pokrátíme a ze zbytku ve tvaru 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 vytvoříme zkráceně 10!.
Neznámá p se tedy rovná 10.
Sečteno a podtrženo:
Musíme se zbavit faktoriálu!!!
Ještě jedna legrácka:
Zadání:
A = 100! * 3!
B = 99! * 4!
Kolikrát je číslo A větší než číslo B?
Zkusíme si čísla vydělit:
Číslo A vydělíme číslem B. Ve zlomku se faktoriály pokrátí a zůstane číslo 25. Odpověď je tedy dvacetpětkrát.